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整数就是像-3,-2,-1,0,1,2,3等这样的数。在整数的范畴里面又分为了自然数(Natural Numbers),奇数(Odd Numbers),偶数(Even Numbers),质数(Prime Numbers),合数(Composite Numbers),互质数(Mutual Prime Numbers),倍数和约数(Multiple and Divisible),完全平方数(Perfect Square)以及商和余数(Quotients and Remainders)的考查。其中自然数就是大于0的正整数,例如1,2,3,4等等。

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(一)奇偶数

其中奇偶数中,相关性质的考察是尤为多的。首先奇数就是非2的倍数的整数,偶数是2的倍数的整数。0是偶数。在实际的做题中,总结出,“同奇同偶相加减,和差为偶数”。在乘法运算中,只要有偶数参与运算,则结果必然是偶数,反之,结果是奇数。

注意:0是偶数,0是整数,0不是正数,0不是负数。

例题一:

If a and b are positive integers such that a-b and a/b are both even integers, which of the following must be an odd integer?

(A)a/2

(B)b/2

(C)(a+b)/2

(D)(a+2)/2

(E)(b+2)/2

这道题考查了奇偶数的加减运算,已经乘法运算。

解析:a-b是偶数,a、b同奇同偶,a/b是偶数,a和b则至少有一个是偶数,则,a、b同偶。

a/b=偶数,a=b*偶数;a=4乘以一个数,所以a/2是偶数,a/2+1等于奇数

 

(二)质数和合数

质数就是它的因数只有1和它的本身的自然数,例如,2,3,5,7等等,2是最小的质数。

合数的概念和质数相反,合数是除了1和她本身之外还有其他的因数,例如,4,6,14等。

注意:质数和合数都不能为负数,0和1既不是质数也不是合数。

例题二:

If n is a positive integer greater than 1, then p(n) represents the product of all the prime numbers less than or equal to n. The second smallest prime factor of p(12) + 11 is

A2

B11

C13

D17

E211

解析:题目要求p(n)表示的是所有小于或等于n的质数的乘积。问p(12)+11第二个最小的质因数因子

P(12)=2*3*5*7*11

P(12)=2*3*5*7*11+11=11(2*3*5*7+1)=11*211,最小的是11,第二个最小的是211.

 

(三)倍数和约数

当整数a能被另一个整数b所整除时,a称为b的倍数,b称为a的约数或因数。在考试中最常考的是公倍数和公约数。公倍数就是同时是几个数的倍数,最小的就是最小公倍数;最公约数,就是一个数同时是好几个数的约数,最大的就是最大公约数。

例题三:

Bouquets are to be made using white tulips and red tulips, and the ratio of the number of white tulips to the number of red tulips is to be the same in each bouquet. If there are 15 white tulips and 85 red tulips available for the bouquets, what is the greatest number of bouquets that can be made using all the tulips available?

A. 3

B. 5

C. 8

D. 10

E. 13

解析:花束之间,红色和白色的数量是固定的,所以求的就是85和15的最大公约数。

85和15最大公约数为5

 

(四)余数(Remainders)

在整数的除法运算中,被除数不能被除数整除时,就产生了余数。

余数有如下一些重要性质(a,b,c均为自然数):

(1)余数和除数的差的绝对值要小于除数的绝对值;

(2)被除数=除数×商+余数;

除数=(被除数-余数)÷商;

商=(被除数-余数)÷除数;

余数=被除数-除数×商。

(3)如果a,b除以c的余数相同,那么a与b的差能被c整除。例如,17与11除以3的余数都是2,所以17-11能被3整除。

例题四:If n is a prime number greater than 3, what is the remainder when n^2  is divided by 12?

A 0

B 1

C 2

D 3

E 5

解析:n>3的质数,所以n^2>9的奇数,而12是偶数,所以n^2/12的余数是1

带入5^2=25,7^2=49除以12都是余1

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